Eigenvector

Eigenvectors (characteristic vectors) and eigenvalues (characteristic numbers) are used to analyse matrices. The eigenvector maps the Vector differing from the zero vector. The direction is not changed by the mapping process. The vector is simply stretched. The scaling factor is the eigenvalue of the mapping.

A is an $n\times m$ Matrix that represents a mapping process. A complex number $\lambda \in \mathbb{C}$ is the eigenvalue of A if there is a vector $\vec{v}$ $\in $ Cⁿ where $\vec{v}\ne 0$, i.e.$A\cdot \vec{v}=\lambda \cdot \vec{v}$. The vector $\vec{v}$ is designated as the eigenvector of A in relation to the eigenvalue $\lambda $. In this case, the zero vector is never an eigenvector.

$\lambda $ is the eigenvalue here and a complex or real number

The eigenvalues

• of symmetrical matrices are real,
• of positive definite matrices are greater than zero,
• of positive semi-definite matrices are greater than or equal to zero.

Eigenvalues and eigenvectors describe key characteristics of linear mapping processes.

Eigenvectors are used, among other things, to determine the free oscillations of multi-mass oscillators.

Eigenvektor

Eigenvektoren und Eigenwerte dienen zur Untersuchung von Matrizen. Dabei ist der Eigenvektor einer Abbildung der vom Nullvektor unterschiedliche Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Er wird lediglich gestreckt. Der Skalierungsfaktor ist der Eigenwert der Abbildung.

A ist eine $n\times m$-Matrix, die eine Abbildung darstellt. Eine komplexe Zahl $\lambda \in \mathbb{C}$ ist dann der Eigenwert von A, wenn es einen Vektor $\vec{v}$ $\in $ Cⁿ mit $\vec{v}\ne 0$ gibt, so dass$A\cdot \vec{v}=\lambda \cdot \vec{v}$. Der Vektor $\vec{v}$ wird als Eigenvektor von A zum Eigenwert $\lambda $ bezeichnet. In diesem Fall ist der Nullvektor niemals ein Eigenvektor.

Die Zahl $\lambda $ ist hier der Eigenwert und eine komplexe oder eine reelle Zahl

Dabei sind die Eigenwerte

• symmetrischer Matrizen reell,
• positiv definiter Matrizen größer als Null,
• positiv semidefiniter Matrizen größer oder gleich Null.

Mit Eigenwerten und Eigenvektoren können wichtige Eigenschaften linearer Abbildungen beschrieben werden.

Eigenvektoren werden unter anderem zur Bestimmung der freien Schwingungen von Mehrmassenschwingern herangezogen.

特征向量

特征向量（本征向量）和特征值 （本征值）用于分析矩阵。一个映射的特征向量是非零向量，其方向在该映射下不变。特征向量在该映射下只是被放缩，其放缩的比例即为该映射的特征值。

A 是一个 $n\times m$ 矩阵，表示一个线性变换。复数 $\lambda \in \mathbb{C}$ 是 A 的特征值，当且仅当存在一个向量 $\vec{v} \in {C^N}$ 且 $\vec{v}\ne 0$ ，使得 $A\cdot \vec{v}=\lambda \cdot \vec{v}$ 成立。 向量 $\vec{v}$ 即为属于矩阵A $\lambda $ 的特征向量。因此，零向量不是特征向量。

特征值 $\lambda $ 可以是实数或复数； 向量 $\vec{v}$ 即为所谓的特征向量。

特征值

对称矩阵的特征值为实数，

正定矩阵的特征值都大于零，

半正定矩阵的特征值都大于或等于零。

特征值和特征向量是描述线性变换的重要特性。

除此之外，特征向量还可用于解决多功能振荡器的自由振荡问题。

近义词

特征值

Vector propio

Los vectores propios (vectores característicos) y los valores propios (números característicos) se usan para analizar matrices. El vector propio mapea el vector que difiere del vector cero. El proceso de mapeo no cambia la dirección. El vector simplemente es estirado. El factor de escala es el valor propio del mapeo.

A es una matriz $n\times m$ que representa un proceso de mapeo. Un número complejo $\lambda \in \mathbb{C}$ es el valor propio de A si hay un vector $\vec{v} \in {C^N}$ donde $\vec{v}\ne 0$ , es decir, $A\cdot \vec{v}=\lambda \cdot \vec{v}$ . El vector $\vec{v}$ es designado como el vector propio de A en relación con el valor propio $\lambda $ . En este caso, el vector cero nunca es un vector propio.

$\lambda $ es el valor propio aquí y un número complejo o real; el vector $\vec{v}$ se llama vector propio.

Los valores propios

de matrices simétricas son reales,

los de matrices definidas positivas son mayores a cero,

los de matrices semidefinidas positivas son mayores o iguales a cero.

Los valores propios y los vectores propios describen características clave de los procesos de mapeo lineal.

Los vectores propios se usan, entre otras cosas, para determinar las oscilaciones libres de osciladores de masa múltiple.