一种定义
四种语言
0,1,2
- 德國
- 英語
- 中國
- 西班牙語
双射
双射是一种特殊的函数 $f:A\to B$。
一个函数是双射的，当且仅当每个 $y\in B$ 都有唯一的一个原像与之对应。也就是说，对于每个 $y\in B$，都有唯一确定的一个 $x\in B$ 使得 $f(x)=y$，从而双射具有唯一性。 那么这个函数就具有反函数，因而是可逆的。
双射是一个单射，因为定义域中的不同元素对应于陪域中的不同元素。双射也是一个满射，是因为陪域中的每个元素都是值域。
一个双射的定义域、值域和陪域都是有限集，且具有相同数量的元素。反之，由两个有限集构造的函数称为双射，当且仅当两个集合的元素数量相等。
对于无限集，利用双射可将无限集的基数定义为个数概念的推广。
同一有限集上的双射构成一个置换。
Bijektion
Die Bijektion ist der Sonderfall einer Funktion$f:A\to B$.
Eine Funktion ist immer dann bijektiv, wenn jedes$y\in B$ genau ein Urbild hat. Für jedes $y\in B$ existiert exakt ein $x\in B$ mit $f(x)=y$, so dass eine Bijektion eindeutig ist. Die Funktion hat daher eine Umkehrfunktion und ist invertierbar.
Die Bijektion ist zudem injektiv, weil die verschiedenen Elemente ihres Definitionsbereichs auf unterschiedliche Elemente der Zielmenge abgebildet werden können. Sie ist surjektiv, weil jedes Element der Zielmenge als Funktionswert auftritt.
Definitionsmenge, Bildmenge und Zielmenge einer Bijektion haben in endlichen Mengen immer dieselbe Anzahl von Elementen. Umgekehrt ist auch die Funktion zwischen endlichen Mengen bijektiv, wenn die Elementzahl übereinstimmt.
Für unendliche Mengen wird die Mächtigkeit als Verallgemeinerung der Elementanzahl mit Hilfe der Bijektion definiert.
Die Bijektion einer endlichen Menge auf sich selbst heißt auch Permutation.
Bijection
Bijection is the special case of a function$f:A\to B$.
A function is always bijective if each$y\in B$ has exactly one inverse image. For each $y\in B$, there is exactly one $x\in B$ where $f(x)=y$, which makes a bijection unambiguous. The function therefore has an inverse function and is invertible.
Bijection is also injective because the various elements in its domain can be mapped onto different elements of the codomain. It is surjective because each element of the codomain occurs as a functional value.
In finite sets, the domain, image set and codomain of a bijection always have the same number of elements. Conversely, the function between finite sets is also bijective if the number of elements matches.
For infinite sets, bijection is used to define the cardinality as a generalisation of the number of elements.
The bijection of a finite set onto itself is also called permutation.
Biyección
La biyección es un caso especial de una función $f:A\to B$ .
Una función siempre es biyectiva si cada $y\in B$ tiene exactamente una imagen inversa. Para cada $y\in B$ , hay exactamente un $x\in B$ donde $f(x)=y$ , que hace ambigua la biyección. Por lo tanto, la función cuenta con una función inversa y puede invertirse.
La biyección es también inyectiva ya que varios elementos en su dominio pueden ser mapeados en diferentes elementos del codominio. Es sobreyectiva porque cada elemento del codominio ocurre como un valor de función.
En conjuntos finitos, el dominio, el conjunto de imagen y el codominio de una biyección siempre tienen el mismo número de elementos. De manera inversa, la función entre conjuntos finitos también es biyectiva si el número de elementos concuerda.
Para los conjuntos infinitos, la biyección se usa para definir la cardinalidad como una generalización del número de elementos.
La biyección de un conjunto finito en sí mismo también se llama permutación.
